Если я хочу жить в Узбекистане больше 60-ти дней, что для этого нужно? И сработает ли такой вариант, что на +-50-ом дне пребывания покидать страну на сутки и потом обратно возвращаться?

виза ран, можете попробовать но лучше задержаться на 5-6 дней чтобы это выглядело не очевидно. Но я бы на вашем месте сделал бы визу.

Если виза не нужна, то достаточно продлевать временную регистрацию - делают отели или собственники квартир. Выезд из страны регистрацию не обнуляет - действует весь срок.

Обычно максимальный срок действия регистрации 6 месяцев. Продлевать ее можно сколько угодно раз