Вечер добрый, подскажите проверяют ли в поездах из Москвы в Минск все необходимые документы на питомца, прививки и чипирование?

Некому проверять)

Нет, если не возникнет проблем. Но смотрите чей поезд, ржд и бч, в первом случае вам нужно брать билет только в вагон, разрешенный для перевозки животных. В БЧ в любом вагоне можно. Ну и переноска само собой, либо намордник и строгий ошейник