А в аэропорту Нижнего Новгорода есть гостиница?

нет вроде. Гостиница, например, недалеко от жд вокзала - Маринс Парк отель. От аэропорта вызовете яндекс.такси, порядка 750-900 рублей будет. Потом также из гостиницы можно на такси отправить на вокзал. А там на электричку

Это нерационально.

Утром будет всё равно надо добираться в город и далее в Балахну.

лучше забронировать гостиницу недалеко от Московского вокзала, от аэропорта доехать до нее на такси.

утром на электричку до Балахны (дорога по яндекс расписанию показывает около часа). Ходят автобусы, но в том направлении могут быть пробки, электричка надежнее.