Собираемся лететь из Санкт- Петербурга в Белград в конце октября без багажа. Можно ли провозить в ручной клади лекарства для личного пользования и бутылочку воды?

Воду, купленную после прохождения всех досмотров в аэропорту - пожалуйста.

Спрашивают ли на регистрации оформленное назначение врача?

Если объем бутылочки (всей, не налитой жидкости) будет не более 100мл, то да. И в сумме всё это хозяйство должно помещаться в пакет объёмом 1л.