Как вообще добираться до центра Будапешта лучше и бюджетнее?

на автобусе до центра легче

На автобусе лучше.

Прямо на выходе из аэропорта

Автобус 100Е до центра - 2200 форинтов. Автобус 200Е до конечной метро 500 + билет метро 500.

Смотря куда ей надо.

Поменяет немного в аэропорту (20 евро = 7700 форинтов). Билет можно купить в автомате рядом с остановкой (в 100Е можно картой оплатить внутри).