Подскажите, пожалуйста, правильно я понимаю, что границ и паспортного контроля в Европе между странами нет?

Можно

Для подачи на Венгрию Вам понадобятся полностью оплаченные брони гостиниц, по которым будет видно, что в Венгрии вы проведете больше дней,чем в любой другой стране Шенгена за время поездки.

Консульство может проверить, не была ли отменена бронь гостиницы (но достоверно известно только о проверках ДО въезда туриста в Шенген). Ваш план: пожить пару дней в Венгрии, а потом ехать в Италию, выглядит более-менее надежным. Визу вам точно не аннулируют в таком случае. Но если вдруг как-то обнаружат ваш обман, со следующей может быть проблема (а может и не быть😀)

Все отельеры в Европе регистрируют постояльцев (даже апартаменты). Ходит байка, что консулу достаточно зайти в некую систему, и он по вашему паспорту определит, в каких гостиницах вы останавливались в прошлую свою поездку. Мне верится слабо, что они тратят столько времени на проверки. Но кто знает... Взвешивайте риски сами.

И да, паспортного контроля при пересечении границ внутри Шенгена нет. Но иногда бывают выборочные проверки и вопросы: кто такие, куда едете, зачем. Надо показать визу, бронь гостиниц, куда едете, и обратный билет.