Я почти месяц уже в Казахстане. Хочу еще на пару недель остаться. Что мне для этого надо? Обязательно сделать регистрацию? Когда буду уезжать, в аэропорту будут какие-нибудь документы спрашивать еще?

Не будут

Между Россией и Казахстаном действует безвизовый режим, поэтому виза для въезда не нужна, однако граждане РФ могут находиться в Казахстане до 90 дней в течение каждого 180-дневного периода. Но если вам нужно находиться в Казахстане более 90 дней, необходимо оформить разрешение на временное проживание( РВП).