Подскажите, пожалуйста, в каких сербских банках можно открыть счёт+карту только с белым картоном и сколько примерно времени это займет? Возможно ли это вообще?

Возможно. Можно открыть в Поштанске - срок рандом. Могут за 3 дня, а могут и за 3 недели.

АПИ - открывают вроде быстрее, но обслуживание недешевое

Попробуйте в Центральном филиале Поштанска Штадионица, просят переводчика. Либо в филиале альта банка, по ул Зорана Джинджича 121. Там, ко всему прочему, требуют договор аренды