После отказа в получении ВНЖ Литвы, информацию о запрете въезда в шенген сразу же отправляют(если дают запрет)?

Если запрет, то обычно после 2 недель приходит письмо, но это на стадии получения литовской визы.

Запрет в Литву, не в шенген.

Если отказ в внж, смотря по какой причине, может и без запрета