Подскажите пожалуйста, может есть авиалинии которые сейчас летают в Европу и у них сразу можно купить билет на животного в салон, без писем, звонков и тому подобного ?

Вряд-ли, проблема в вопросе собака и кошка. "Не родные" вместе в одном салоне не могут лететь

У турков в приложении можно сразу бронировать животное

Туркиши

Туркиш эйрлайн. Если при бронировании добавить животное и сумма оплаты будет: билет на чел. + животное, значит животное на рейс посажено.

Еще удобно покупать билет с животным у S7, на сайте бронируешь и сразу оплачиваешь. Но ими долететь можно только до Стамбула или Еревана.

У Аэрофлота при бронировании животного надо ждать подтверждения на e-mail. И оплата животного только в аэропорту. Не очень удобно.