Подскажите: если владелец животного имеет два гражданства, и в каждом из них отличается написание имени и фамилии (

Напишите любую из ваших транскрипций. Желательно, как в паспорте, с которым летите. Никто особо не будет придираться к вашим буквам.

Это не имеет большого значения, у вас же второй паспорт, как подтверждение вашей личности. (такое у многих). Можно прописать фамилию в вет. паспорте чуть ниже в строке- второй владелец. Но лучше оформлять сертификат и паспорт на питомца по данным паспорта той страны, где проживаете постоянно.