Подскажите, если приехать в Германию по визе приглашению, есть какие либо способы остаться там после истечения приглашения? Например, если за это время поступить на учебу?

За это будет большое атата тем, кто выдал приглашение

Ну и вам в том числе

по приглашению вы получаете визу С, а учеба это виза Д, это разные визы. в очень редких случаях по визе с оставляют, но это в основном когда дело касается семейных вопросов. вам в любом случае нужно будет выезжать и получать долгосрочную визу Д