Подскажите пожалуйста, если на поезде самостоятельно поехать из Сухума до Гагры или Нового Афона, что там можно было бы посетить и как добираться?

Да все можно посетить самим. Если без авто - в Новый Афон, например, едут автобусы с жд вокзала. Вам остановят, где попросите. Удобно выходить у монастыря. Можно зайти в сам монастырь, или пойти сначал в пещеру (взять в билет и, в зависимости от того, на какое время достанется вход, пойти в монастырь. Или подняться до крепости. Или пройти до жд станции Псцырха, за ней вход в красивое местечко, где грот Симона Кананит. Парк еще есть красивый. С экскурсией и половины не увидите.