Подскажите, пожалуйста, мужа приглашают работать на Кипр по ARC, можно ли через какое- то время претендовать на ВНЖ или гражданство?

У Вас все перепутано) раз мужа приглашают работать, у него будет рабочий Внж. Его задача поскорее открыть счет в любом кипрском банке и положить на него банковскую гарантию на всех членов семьи. После этого можно подавать всех на внж как депендантов к нему. А arc это жёлтый листик А4, на котором указан личный номер гражданина третьей страны, который не меняется до конца Вашего проживания на Кипре. Просто сохраните. Также Вам выдадут ресит (чек) о подаче документов, с ним можно будет выезжать и въезжать без визы пока готовится Внж.