Можно ли оплатить отель в Будапеште на 10 дней? По факту я собираюсь быть там один день и уехать в Вену на неделю.

если виза будет выдана екатеринбургским консульством, то так лучше не делать,

если московским - риски проблем на данный момент невысокие

Почему вы не обратитесь в представительство Австрии и не покажете им документ о том, что ВНЖ на рассмотрении? Они же тогда предоставят вам визу для въезда без лишней волокиты и бумаг (по крайней мере, так было с Грецией)