Подскажите пожалуйста, а можно ребенка с подругой отправить из России в Абхазию без доверенности юридически оформленной? Можно от руки написать?

Нет. Нотариально нужно

Нет. Только доверенность, оформленная нотариально от одного из родителей/опекунов. При условии, что второй родитель/опекун не делал запрет на вывоз ребёнка за пределы России.