Подскажите, как из Курска доехать до Ейска?

Если на машине, то по М4.

Если на поезде, то смотрите все проходящие через Курск в южном направлении: Адлер, Анапа, Кисловодск. Можно доехать до Ростова-на-Дону или до Староминской (но не все поезда там останавливаются).

А оттуда до Ейска.

Либо добирайтесь любыми доступными способами из Курска до Воронежа(Придача), а там прямым поездом Москва-Ейск или СПб-Ейск.

Через Старый Оскол до Воронежа (дорогу не скажу), а дальше вниз по м4 до Ростова на Дону, учтите в ростовской области очень плохо работает GPS, далее до Азова, мимо Пешков, в Староминской направо. Дорога от Ростова хорошая. Кстати, по пути можно заехать в краеведческий музей в г. Азов - крайне рекомендую, особенно если с детьми будете ехать.