Посоветуйте пожалуйста, где лучше останавливаться, чтобы было подешевле, чем в самом Сочи, но чтобы при этом можно было легко и по возможности недолго до Сочи добираться?

Дагомыс,Вардане.

Мы выбрали Мамайку, но Дагомыс тоже неплох по отзывам

Лазаревское

Самое близкое это Дагомыс, от Сочи полчаса на электричке. Более экономично это отдых в Лазаревском, там есть для отдыха абсолютно всё, если будет желание то на электричке ~1,5 часа вы можете съездить в горы Красной Поляны или в Сочи парк.

В Лазаревском.

Там насколько хорошо, что Вам и в Сочи не захочется выбираться!