Хотим пригласить маму на полгода в Аргентину, как лучше сделать? Может быть можно сделать что-то типа приглашения?

Приглашение не меняет статус туриста вашей мамы, а для авиакомпаний список требуемых документов для въезда. Если есть возможность, то не рискуйте.