Может кто знает, как осуществляется аренда квартиры в Испании? Как в России? Подписать договор с двух сторон и все? Надо как-то у нотариуса заверяться?

Нотариус не нужен. Но есть официальная форма договора, где указ-ся определенные данные квартиры. Также зависит, для чего вам договор. Просто жить, нет требований, оформить прописку, есть обязательные требования.