Смогу ли я поехать на машине в Башкортостан с гражданством Азербайджана?

Если у Вас нет запрета на въезд в РФ - конечно.

После пересечения границы вам устанавливается срок пребывания в РФ в течение которого вы можете свободно перемещаться по территории страны без ограничений. Ну по крайней мере мне не известно о каких либо ограничениях