Прилетаю в Батуми 21 апреля, что обычно спрашивают пограничники в аэропорту?

ничего

Обычно - ничего. Паспорт.

Чаще всего особо ничего, а дальше - зависит от вашего паспорта (чистый, или наоборот слишком всего много - могут быть вопросы), выдан в Крыму или на новых территориях - точно будут, зависит от вас - если вам 18-25 лет и вы один, или у вы из дагестана и у вас «ваххабитская» борода…

Но скорее всего банально: цель поездки, когда обратно.

И да, не забывайте: гамарджоба, подавая паспорт.