В январе бронировали отель в Париже через букинг на пару ночей с 13-15 мая, но в связи болезнью отпуск приходится перенести, а на те даты которые мне нужны свободных номеров нету.

Отменяйте бронь (чтоб вернули деньги) и ищите места на новые даты в другом отеле.

В букинге самом есть функционал смены дат существующего бронирования - попробуйте так

Но если номеров нет, то, конечно, ничего кроме отмены тут не придумать

Не будут же ради вас кого-то не вселять или выгонять :)