В анкете для подачи на ВНЖ РК, в графе сведения о трудовой деятельности, есть промежутки в несколько месяцев когда не работал

Везде по-разному. В моём случае, по крайней мере, консультант в ЦОНе сказал обязательно написать промежутки "Не работал/Не учился", иначе откажут. Другой консультант даже внимание на это не обратил

Трудовая книжка не требуется, проводить расследование по Вашей трудовой деятельности никто не будет. Я подавал в Астане - у меня был очень большой перерыв. Просто написал типа фриланс или частный консультант. Точно уже не помню.