У меня внж Латвии заканчивается 20 июня, и буду делать новый, до 20 июня я могу же выезжать из Латвии, верно? Или есть какие-то ограничения?

да;

но до 20 июня вам надо успеть получить новую карту -- или получать визу, чтоб потом въехать в Латвию и получить новую карту после этой даты.