Подскажите, пожалуйста,на паспортном контроле на каком языке говорят?

Зависит от возраста сотрудника. Грузинский и Инглиш как минимум. Взрослые могут и по-русски.

английский знают, на русском иногда

На паспортном контроле в аэропорту Тбилиси, например, когда прилетела, интуитивно и так все понятно: подаешь паспорт, становишься перед камерой, ждешь, пока кивнут, подходишь, тебе протягивают паспорт, зажигается зелёная лампочка, открывается проход ( все как на таможке в России). Если захотят задать вопрос, скорее всего к гражданину РФ обратятся по-русски ( логично). При вылете из Тбилиси уже на регистрации обращались по-русски, на проверке вещей есть русскоговорящие, на таможке, полагаю тоже, но там вообще очень быстро поставили штамп молча и пропустили. В гейте на посадку тоже знали русский.

Так что не возникало никаких проблем в общении даже с молодыми. А старшее поколение (заставшее СССР) знает русский исторически похоже.

Английский тоже в ходу, особенно у молодых.