Отдали российские паспорта и свидетельство о рождении ребенка на прописку. Есть только расписка от МФЦ. Вопрос: хотим на выходные съездить в Абхазию, можно ли ребенка провезти только по загранпаспорту, без свидетельства о рождении?

Если Вы сможете подтвердить, что это ваш ребенок без свидетельства о рождении. В Ваш паспорт вписан ребенок?

По закону нельзя в вашей ситуации. У вас может, что называется, прокатить, а может и не прокатить. Если в справке как-то отражено, что ребёнок таки ваш, это может помочь. Но решение всегда за пограничником.