Где можно быстро открыть счёт и получить банковскую карту в Бишкеке гражданину РФ? В каких банках?

Начинать надо с того для чего Вам счет и карта. Если нужно чтобы свифты долларовые ходили, то это одни банки. Если нужно чтобы деньги в Россию было проще завести, то это другие. А так, проще всего в Бакай. Только он мало какие задачи решает...