Вопрос, наверно, глупый. Если родить в Аргентине, получить все документы на ребенка и податься родителям на гражданство, один из родителей (папа) может на время улететь в Россию? Или необходимо находиться там всё время?

Можно улететь но у вас может остановиться дело по гражданству.

Ну технически…. сейчас суды не выпускают запросы без предоставления доходов. Или остались еще какие-то, вот не помню

Вопрос, какой выпадет суд и на каком этапе улететь. И тогда уже можно с какой-то долей вероятности давать прогноз

На некоторое время - да, может. Но если дольше 2-3 месяцев, то лучше начать дело по возвращении