А в банке нерезидентам Казахстана открывают счет когда - ИИН обязательно в оригинале на бумаге давать, или достаточно номер сообщить? Кто знает? Спасибо заранее!

В разных банках - по разному. Лучше носить с собой распечатку.

по сути бумажка сама по себе им не нужна. Нужен просто номер. Все зависит даже не от конкретного банка, а от настроения конкретного сотрудника в конкретном отделении. Могут потребовать распечатку а могут и не потребовать.