Подскажите пожалуйста, как проходит пограничный контроль?

ну, по-иде, да, надо будет предъявить все докуиенты, чтобы была логическая цепочка.. а вам не проще свидетельство о рождении ребенка заменить на вашу актуальную фамилию?

Родство подтвердить нужно обязательно. Если дочь в Ваш паспорт вписана, то это уже подтверждение.

Да, по правилам вам нужно доказывать своё родство с ребёнком. Даже если она вписана в ваш паспорт. Потому что её основной документ — свидетельство о рождении, но там другая ваша фамилия. Поэтому — да, вам нужны все документы, которые однозначно скажут пограничнику о том, что этот ребёнок — ваш. Не все свидетельства о заключении и расторжении брака, а те, которые позволят выстроить цепочку от вашей девичьей фамилии до нынешней. Вам не о браках своих нужно будет рассказывать, о о смене фамилии :) Оригиналы не нужны.

Но всё это могут и не спросить. Всё на усмотрение пограничника.

еще, как вариант, если у вас все документы есть, можно у нотариуса оформить разрешение на выезд ребенка за границу (четкий перечень стран, включая Республику Абхазия) без сопровождающего законного представителя и вплоть до его совершеннолетия. тогда на границе ничего не нужно будет доказывать еще раз.