Где в Сухуме лучше всего можно прочувствовать советскую атмосферу?

Ну так с вокзала и начните , всё таки отличный архитектурный объект советской эпохи, правда как и все сохранившиеся вокзалы по побережью Абхазии. В РФ в основном уже перестроили много чего , а тут прям кладезь всего советского. Погуляйте побольше пешком и увидите много чего сохранившегося еще с советских времен. Правда присущая той эпохе атмосфера уже утеряна , хотя конечно некоторые частички её остались и именно в РА вы можете встретить колоритных персонажей так и оставшихся в том времени. Хотя конечно это понятие "Советская атмосфера" немного размыто - и у каждого немного своё. Вот вы что хотите увидеть и прочувствовать? Но даже если вы и не найдёте того чего искали , то уверяю вас прогулка по морскому побережью в окружении вековых эвкалиптов и не только - только лишь будет на пользу.

Везде я когда приезжаю домой в Сухум, у меня ощущение, что я вернулась в СССР , откуда я родом

В Акармаре был музей, та самая советская среднестатистическая квартира. Он сгорел. Сейчас там же есть его подобие; насколько оно соответствует вашим целям — не знаю. Наверняка осталось немало квартир, где мало что поменялось с 80-90-х, но об этом точно не туристам знать.