Подскажите пожалуйста, я правильно понимаю, что для оформления прописки (и получения Certificado de empadronamiento) не требуется никаких дополнительных документов от собственника квартиры, только контракт на аренду?

Зависит от конкретного мунисипио. Как правило, помимо договора аренды еще нужен счет об оплате последнего арендного платежа

Иногда требуются разрешение владельца и/или ксерокопия его DNI, тут уже смотрите в списке документов мэрии конкретно вашего населенного пункта