Подскажите как можно купить и зарегистрировать машину не имея прописки в Финляндии? И вообще какие могут быть проблемы из за отсутствия прописки?

тут скорее вопрос куда будут приходить штрафы и счета на налог и за страховку, ну и в катсастус придется ножками сходить для переоформления авто

Купить можно.

И вроде даже зарегистрировать, но только без возможности ездить по дорогам.

Там замкнутый круг.

Чтобы зарегистрировать и ездить, нужна страховка. А вот её как раз без "прописки" никак не сделать.

И вообще куча проблем без прописки. Например, не сделать удост.личности(henkilokortti), а без него не сделать банковский счёт/карту и главное не сделать банковскую идентификацию личности необходимую во всех сферах и веб-сервисах.