Есть два загран паспорта - 5 и 10 лет. Въезжали в Грузию с 5 летним, срок действия паспорта еще не истекает, страницы свободные есть.

Нет, ИЗ Грузии нельзя, при наличии двух действующих паспортов по какому заехали, по такому и выезжаете.

Но при пересечении границы вы пересекаете два пункта контроля, один грузинский, а другой той страны в которую едете (допустим Турция). Вот в момент когда Грузию уже прошли, а Турцию еще нет можно и совершить подмену паспортов. То есть выехать из Грузии по пятилетнему, а в Турцию заехать по десятилетнему уже. Ну и там в Турции уже дальше такая же история, если еще куда-то едете.