Посоветуйте пожалуйста в каком банке Астаны лучше открыть счёт, и будет возможность переводить деньги с Казахстана в Украину/Россию? и можно ли это сделать сразу же по приезду или нужны какое-то ещё документы?

С Украиной будут проблемы 100% Вам нужен трудовой договор. Те кто без него делают - только фридом

ВТБ российский спокойно переводит в Казахстан на kaspi, попробуйте сходить в местный ВТБ , возможно у них в обратку тоже работает