При продлении боравка можно ли на всю семью сделать один договор аренды куда вписать всех в Черногории?

Вам потребуется N копий такого договора - по числу всех членов семьи.

В договоре основной заявитель должен быть указан как арендатор (и подписант), а остальные (с паспортными данными) как проживающие вместе.

Семью можно, совершеннолетние дети идут как арендаторы (вы первый арендатор, ребенок -второй), расписываетесь оба соответственно