В Россию приехал китаец с картой APEC. Нужно ему как-то где-то регистрироваться по прибытии в Россию?

Да, нужно

Если он будет жить в гостинице, то гостиница все сделает сама. Если на квартире, то можно зарегистрировать черег Госуслуги. либо в ближайшем МВД/МФЦ.

в течение 7ми рабочих дней через госуслуги подать уведомление по месту прибытия или в течение 90дней если есть разрешение на работу