Брал ли кто-то авто в аренду через компанию Budget. У них заявлена возможность платить дебетовой картой. Но у меня не именная от Freedom finance. Подойдёт ли?

Скорее всего нет. Карта на имя основного водителя - главное требование.

Слышал, что иногда получается договориться, если взять у них полную страховку. Сам не пробовал

Брали key and go c полной страховкой (flex) дебетовая карта работала. Бронировали заранее.