Планируем пробыть в Абхазии 16 дней, проживать будем в частном секторе. Я правильно понимаю, что нам нужно вставать на миграционный учет и платить госпошлину?

Неправильно :) Ничего вам не нужно платить и никуда не нужно вставать. Вы туристы. Если в отеле живёте, отель может взять сбор (а может и не брать). В частном секторе не нужно ничего платить, такой вариант проживания не является официальным

Этим летом отдыхали чистых 15 дней и ночей в частном секторе.

Не платили ни чего.

Границу обратно прошли свободно без лишних вопросов.