Подскажите пожалуйста, если сменили место жительства в Армении, идти и менять его для соц карты обязательно?

Нет, соцкарта привязана к паспорту, а не к месту жительства .

его для прописки менять обязательно, а соц карту при этом в паспортном столе тоже поменяют. Номер не изменится, но адрес в соцкарте изменится, будет новая бумажка.