Проверяют ли на границе Барселоны военный билет или что-то подобное при полете из Москвы в Барселону и как сейчас этим обстоят дела ?

Ну это может быть только в Москве, но для пересечения границы он не нужен, т.к. нет военного положения или чего-то подобного. Но ситуация меняется каждый день...

на границе проверяют паспорт и по паспорту проверяют наличие запрета на выезд. Если военкомат не подал ничего на запрет, то ничего и не спрашивают