Пустят ли в Грузию на неделю с обратным билетом если срок загранпаспорта РФ 1 мес ?

Через месяц кончается? Если вы сейчас в рф, советую оформить новый. За неделю делают.

Если это вызывает проблемы, то думаю как повезет. Из личного опыта, часто смотрят чтоб было пол года в запасе, но я еще не ездил в Грузию

Могут не пустить. По правилам если паспорту меньше 3х месяцев до конца срока действия - могут дать отказ.

В Турцию бы 100% не пустили, в Грузию - возможно пустят

Пустят. В сентябре приехал с паспортом сроком действия 1 месяц.