С картой какого банка лучше приезжать в Батуми?

Возьмите наличные. Думаю доллары поменять чуть проще чем рубли, хотя и то и другое несложно. Главное - не меняйте в аэропорту, там грабительский курс. Если можете взять чуть лари, можно это сделать.

Что касается карт, российские работать не будут, белорусские виза/мастеркард будут (кроме тех банков, что под санкциями), а также работают любые остальные международные карты.

На cash rbc ru можете посмотреть, где выгоднее поменять валюту - выберите валюту (usd-rub, gel-rub) и отсортируйте по цене.

Не из РФ.

Любой, не РФ и не РБ.