Впервые в Чехии еду таким маршрутом, собираюсь из Будапешта в Прагу на автобусе, как на границе проходит проверка документов? и помимо паспорта нужно ли иметь какие-то еще документы?

На границе документы не проверяют, границы как таковой нет внутри шенгена.

Максимум - при посадке в автобус на усмотрение переводчика.

Кроме паспорта стоит иметь визу действующую в паспорте или карту побыта