Можно ли свободно разговаривать на русском и на азербайджанском в батуми или не все люди понимают эти языки?

Русский понимают;)

Так же как и в Азербайджане все понимают грузинский

Русский большинство понимает. Либо русский, либо английский

Если не обращаться заведомо к арабам из Эмиратов, то грузины старше 40 лет точно говорят по-русски, а молодежь моложе 20 лет обычно говорит по-английски (или хотя бы пытается).