Нужно в Тбилиси сделать документы для котенка, куда с этим можно обратиться?

Смотря какие. Если паспорт, то в ветклинику. Если международные, то сначала ветклиника, а потом они нааравят в министерство сельхозхозяйства (если не ошибаюсь). Там дадут сертификат для пересечения границы, который действует 3 дня.