Подскажите - какие документы нужно брать с собой из России для иммиграции в США через Мексику?

Формально не нужно вообще ничего, кроме паспорта. Предполагается что через Мексику идут те, кому угрожает опасность в своей стране. Тут уж не до сбора документов и проставления апостилей. Нужны только переводы на английский язык, но их можно сделать где угодно.

Ну и, соответственно, лучше иметь документы, подтверждающие факт преследования.

Паспорт, свидетельство о рождении, водительское удостоверение. Обязательно нужен спонсор, ФИО гражданина США который осведомлен, что вы едете именно к нему, его телефон и адрес. И запаситесь деньгами, очереди в Мексике по CBP ≈год, Мексика это дорого. Нелегально не перейдете, с июня прикрыли лавочку, теперь сразу детеншн и суд в ДТ и депорт.