А в Батуми можно куда-то зайти поесть с маленькой собакой? можно ли заходить в супермаркеты, например?

Везде, где веранда + есть пет френдли кафе (Артуми например) и кофейни (Платон). В супермаркеты типа Никоры нельзя.

С маленькой можно перед мной только что женщина стояла на кассе

В Hedonist coffee&breakfast на Вахтанга Горгасали можно) отличное место, только что оттуда, напротив сидела пара с собакеном ))