Кто летал с животным, подскажите пожалуйста: мы с котиком хотим в Батуми полететь ( он небольшой, если это важно) , как на него билеты купить?

Позвонить в авиакомпанию, там по звонку добавить можно

И плюс справку получить в вет клинике за 3 дня до вылета и затем обменять в аэропорту или сельхознадзоре

С котиком надо брать билеты на сайте авиакомпании, с которой собираетесь лететь. У каждой а/к свои условия перевозки и прайс. Лучше покупать билет на кота сразу, вместе со своими. Не нужны тут лишние посредники и да, ветпаспорт нужен, прививка от бешенства за месяц до вылета (с пометкой в паспорте), осмотр (с пометкой в паспорте). Без этого не пропустят. Глистогонная или противопаразитная обработка вроде ещё. Короче, в ветклинике в городе вылета скажут.